Guía para el examen de regularización Matemáticas 1

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Expresiones algebraicas

Para dar inicio al tema es de suma importancia ubicar las diferentes componentes de una expresión, por ejemplo podemos observar la combinación de Coeficientes, Variables, Exponentes y Constantes. La mezcla de dichos componentes le dan vida a nuestra expresión algebraica, como puedes observar separamos por colores cada componente.

Cabe mencionar que las expresiones algebraicas se conocen así por su combinación de números reales (constantes) y literales o letras (variables) que representan cantidades, mediante operaciones de sumas, restas, multiplicación, división, potenciación, etcétera. Posterior mente mostraremos algunos ejemplos, pero primero definamos lo siguiente.

Término

Es un sumando de una expresión algebraica y representa una cantidad. Todo término algebraico se le denomina monomio y consta de coeficiente, variable(s) y exponente(s), por ejemplo él –6a2b-1 es un término al igual que ab3 y 5. A este último le llamaremos término constante.

Términos semejantes

Dos o más términos son semejantes cuando comparten la misma variable y exponente.

7b y 4b son semejantes, ya que comparten variable y exponente.

-8x2 y 3x2 son semejantes, ya que comparten variable y exponente.

-3x2 y 2x3 no son semejantes, comparten variable pero no exponente.

Polinomios

Llamamos así a la expresión algebraica que constan de tres o más términos, por ejemplo si la expresión consta de un solo término lo llamaremos monomio, por otro lado, si dicha expresión consta de dos términos lo llamaremos binomio.

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado sin afectar los exponentes.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

1.Ordenamos los polinomios de mayor a menor tomando en cuenta los exponentes, en este caso ordenaremos el polinomio Q(x).

Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x después sumamos los polinomios

P(x) + Q(x) = 2x3 + 5x − 3 + 2x3 − 3x2 + 4x

2.Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) + Q(x) = (2x3 + 2x3) − 3 x2 + (5x + 4x) − 3

3.Sumamos los coeficientes de los monomios semejantes.

P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3

Resta de polinomios

La resta de polinomios se lleva a cabo cambiando el signo de cada uno de los términos de la expresión que está siendo sustraída (llamada sustraendo) y sumando este resultado a la expresión (llamada minuendo).

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3)  (2x3 − 3x2 + 4x)

P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3

P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3

Multiplicación de polinomios

Multiplicación de una constante por un polinomio

Cuando multiplicamos una constante por un polinomio solo se afectan los coeficientes de cada término.

3 ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6

Al realizar operaciones con polinomios que siguen una regla fija, podemos generalizar el método de resolución, a este proceso se le denomina productos notables.

Ejemplos 1 con solución paso a paso de la forma (x+a)2

1) Desarrollaremos (x +10)2, cuidado con el signo positivo.

  • Elevamos al cuadrado el primer término x2.
  • Después multiplicamos el doble del primero por el segundo 2(x)(10) =20x.
  • Por último elevamos al cuadrado el segundo término 102=100.

Por lo tanto, la respuesta es:

Ejemplos 2 con solución paso a paso de la forma (x–a)2

2) Desarrollaremos (x 10)2, cuidado con el signo negativo.

  • Elevamos al cuadrado el primer término x2.
  • Después multiplicamos el doble del primero por el segundo  2(x)(10) =  20x.
  • Por último elevamos al cuadrado el segundo término 102=100

Por lo tanto, la respuesta es:

Ejemplos 3 con solución paso a paso de la forma (x+a)(x+b)

Ahora mostraremos el desarrollo paso a paso.

3) Desarrollaremos (x  3)(x 4), cuidado con el signo negativo y positivo.

Aplicamos la regla de binomios con término común:

x2+(-3+4)x+(-3)(4)

Primero elevamos al cuadrado la x y la ubicamos el primer término (x)2, después sustituimos los valores de-3 y 4 dentro de la regla del binomio, dicha sustitución es sumando o restando en el segundo término del binomio (-3+4)x y para finalizar multiplicamos (-3)(4) y lo ubicamos en el tercer termino. Como resultado final tenemos lo siguiente:

(x – 3)(x + 4) = x2 + (-3+4)x + (-3)(4)

Desarrollamos y obtenemos x2 + x – 12.

Ejemplo 4 binomios conjugados de la forma (x+a)(x-a)

4) Desarrollaremos (x + 2)(x – 2)

Primer paso elevamos la x al cuadrado y obtenemos x2 posteriormente lo ubicamos en el primer térmico del binomio final, después multiplicamos (2)(-2) y obtenemos -4, el cual lo ubicamos en el segundo término del binomio final.

Nuestro resultado final es x2 – 4.

Diferencia de cuadrados

Factorizar es expresar una suma o diferencia de términos como el producto indicado de sus factores, dichos factores son la forma más simple, por ejemplo para factorizar la expresión:

1- Se extrae la raíz cuadrada del primer y segundo término.

2- Finalmente la factorización es:

Trinomio con término común

Esta expresión resulta producto de binomios con término común, para factorizar dicho término de la forma:

1- Se extrae la raíz cuadrada del término cuadrático y se coloca el resultado en ambos factores y se coloca el signo del segundo término en el primer factor, después se multiplica el signo del término por el signo del tercer término (+)(+) = +para obtener el signo del segundo factor.

2- Se buscan dos cantidades cuyo producto sea igual al tercer término 24 y cuya suma sea igual a 11; estos números son 8 y 3, que se colocan en cada factor, finalmente la factorización es:

Trinomio cuadrado perfecto

Para finalizar tenemos el trinomio cuadrado perfecto, se conoce así a todo la expresión de la forma:

Como ejemplo proponemos la siguiente expresión:

1- Para factorizar está expresión, se debe verificar que los términos se encuentren ordenados respecto a los exponentes de mayor a menor.

2- Se extraen las raíces cuadradas de los términos extremos (primer y último término).

3- Para comprobar que la expresión es un trinomio cuadrado perfecto, se realiza el doble producto de las raíces.

4 – Si el resultado del producto es igual al segundo término del trinomio, entonces este es el cuadrado perfecto y su factorización es igual al cuadrado de una suma o diferencia de las raíces cuadradas.

Referencias

Productos notables revista lobos

Factorización revista lobos

Multiplicación con expresiones algebraicas revista lobos

Operaciones básicas con expresiones algebraicas revista lobos