Rec. Matemáticas 3

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Plano cartesiano

Un plano cartesiano se conoce como 2 rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otro vertical, que se cortan en un punto llamado origen o cero del sistema. Su nombre cartesiano se debe al filósofo y matemático francés René Descartes.

Un plano cartesiano está formado por 4 cuadrantes o áreas producto de la unión de 2 rectas perpendiculares u coordenadas ortogonales y, 2 ejes conocidos como: el eje de las abscisas, ubicado de manera horizontal, identificado con la letra X y, el eje de las ordenadas, situado de manera vertical y, representado con la letra Y.

Para graficar necesitamos nuestras coordenadas, las cuales siempre serán en X y Y

Ejemplo ( 3,4) ( – 4,8) el numero que esta a la izquierda siempre sera X y el numero que esta a la derecha siempre sera Y………………  ( X, Y )

Las X van en el eje horizontal y las Y en el eje vertical

Aquí un ejemplo de la coordenada (2, 3)

Primero avanzamos hasta el numero 2 en el eje X es decir, Horizontalmente

Después avanzamos hasta el numero 3 en el eje Y es decir, Verticalmente

Donde terminamos de avanzar o donde se cruzan estas dos coordenadas es el punto

donde va graficado nuestra coordenada

Distancia entre 2 puntos en la recta numerica

Hay distintas formas de encontrar esa distancia, por un método grafico o con una formula, en esta ocasión veremos la formula para encontrar el resultado que queremos la formula es la siguiente

d=|x2-x1|

Encontraremos la distancia entre -8 y -3

Como puedes ver ya están ubicados los puntos en la recta y tenemos identificado donde esta x1 y x2

Pasemos a resolverlos.

Si te fijas el menos de la formula sigue ahí y utilizaremos la ley de los signos para poder solucionarlo (-)(-) = +  entonces….

Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano

Encuentra la distancia entre los puntos A (-5,-4 ) y b (7,8)

Division de un segmento a una razon dada

Obtén las coordenadas del punto P(x,y) que divide al segmento cuyos extremos son A(1,7) y B (6,-3) a una razón de 2/3 (dos tercios) y gráfica

Área de un Polígono

Dadas las siguientes coordenadas. Halla el área del polígono.

(3, -3)

(2, 1)

(4, 7)

(-6, 2)

(-1, -2)

(-3, -5)

Forma pendiente ordenada en el origen

¿Qué es la forma pendiente-ordenada al origen?

La forma pendiente-ordenada al origen es una representación específica de las ecuaciones lineales. Tiene la siguiente estructura general

Aquí, m, y b, pueden ser cualesquiera dos números reales. Por ejemplo, estas son ecuaciones lineales en forma pendiente-ordenada al origen:

Por otro lado, estas ecuaciones lineales no están expresadas en la forma pendiente-ordenada al origen:

La forma pendiente-ordenada al origen es la más destacada de las representaciones que hay para las ecuaciones lineales.

Además de limpia y sencilla, la forma pendiente-ordenada al origen tiene la ventaja de que exhibe las dos características principales de la recta que representa:

  • La pendiente es m
  • La coordenada y de la intersección con el eje y es b. En otras palabras, la recta se interseca con el eje y en  (0,b)
  • Por ejemplo, la recta  y=2x+1, tiene pendiente  y se interseca con el eje y en (0, 1)

Paralelismo y perpendicularidad

Paralelismo: Dos rectas son paralelas si la distancia entre ellas es constante y por lo tanto, por mucho que se propaguen nunca se cruzan. En función de sus pendientes, dos rectas serán paralelas si sus pendientes son iguales. 
                                 m1= m2   <—-Condición de paralelismo
 Donde:
m1= pendiente de la primer recta.
m2 = pendiente de la segunda recta.

Perpendicularidad: Dos rectas son perpendiculares si al cruzarse forman ángulos de 90º. En función de sus pendientes, dos rectas serán perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.

                  m1*m2 = -1 <—- Condición de perpendicularidad

Intersección a partir de una ecuación

Nos piden que determinemos las intersecciones de la gráfica descrita por la siguiente ecuación lineal:

3x+2y=5

Para encontrar la intersección con el eje y, vamos a sustituir x=0 en la ecuación y resolver para y:

 3(0) + 2y ​=5

2y = 5

y = 5/2

Así que la ordenada al origen es (0,5/2)

Para encontrar la intersección con el eje x, vamos a sustituir y=0 en la ecuación y resolver para x:

3x+2(0) = 5

3x = 5

x = 5/3

Así que la ordenada al origen es (5/3,0)

Forma simétrica de la ecuación de la Recta

Ejemplo 1. Encuentra la ecuación de la recta, cuyas intersecciones con los ejes son los puntos A (3, 0) y B (0, – 4).

Solución:

Al ver los datos del problema, podemos decir que: a = 3, y b = -4 . Entonces solamente tenemos que sustituir estos datos en nuestra fórmula.

Sustituyendo

El – 4 debajo de “y”, hará que se vuelva negativa.

Para eliminar a los denominadores que tenemos, podemos multiplicar toda la ecuación por 12. ( que es el minimo comun multiplo)

Esto nos dará:

Una vez simplificada la ecuación. Vamos a igualar a cero.

 Resultado:

Jesus Aragón Pimienta

Jesus Aragón Pimienta

Ingeniero civil, Maestro de matematicas