Resumen Parcial 1

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Clasificacion de numeros reales

Números naturales
De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales. Estos son los números con los que estamos más cómodos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, …hasta el infinito. El conjunto de los números naturales se designa con la letra mayúscula N.


Números enteros
El conjunto de los números enteros comprende los números naturales y sus números simétricos. Esto incluye los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Los números negativos se denotan con un signo “menos” (-). Se designa por la letra mayúscula Z y se representa como:

Numeros Racionales

Los números racionales son aquellos que pueden representarse como cociente de dosnúmeros enteros. Es decir, los podemos representar mediante una fracción a/b, donde a y b son números enteros y además b es distinto de cero.
El término “racional” proviene de razón, como parte de un todo (por
ejemplo: “Tocamos a razón de tres por persona”).
Cada número racional se puede representar con infinitas fracciones equivalentes.

Numeros irracionales

Los números irracionales comprenden los números que no pueden expresarse como la división de enteros en el que el denominador es distinto de cero. Se representa por la letra mayúscula I. Aquellas magnitudes que no pueden expresarse en forma entera o como fracción que son inconmensurables son también irracionales. Por ejemplo, la relación de la circunferencia al diámetro el número π=3,141592…

Las raíces que no pueden expresarse exactamente por ningún número entero ni fraccionario, son números irracionales.

Suma y resta aritmetica

Caso 1: Suma de enteros positivos 

Si un número no tiene signo normalmente significa que es un número positivo. Ejemplo: 

5=+5 1=+1 

Para sumar enteros positivos, se suman sus valores y se le coloca el signo + al  resultado. 

Ejemplos: 

(+1) +(+2) =+3 

(+5) +(3) =+8 

(+7) +(+)13=+20 

(+15) +(15) =+30

Caso 2: Suma de enteros positivos con negativos 

Para sumar enteros positivos con negativos, se restan sus valores y al resultado se le  escribe el signo del que tenga mayor valor. 

Ejemplos: 

(+5) + (-7) = (-2) 

(-3) + (+8) = (+5) 

(5) + (– 51) = – 46 

(– 14) + (34) = 20

Caso 3: Suma de enteros negativos 

Para sumar enteros negativos, se suman sus valores y al resultado se le escribe el  signo menos (-). 

Ejemplos 

(– 3) + (– 8) = – 11 

(– 3) + (– 10) = –13 

(-7) + (-12) = -19

Jerarquia de operaciones

Primero. Se deben realizar las operaciones que aparezcan encerradas entre símbolos de agrupamiento como paréntesis ( ), llaves { } o corchetes [ ]. Si dentro de un agrupamiento hay otro, se debe evaluar el agrupamiento más interno.

Segundo. Si no hay operaciones agrupadas, se realizarán todas las potencias o raíces en la expresión.

Tercero. Si no hay operaciones agrupadas, ni potencias o raíces, se evaluarán todas las multiplicaciones o divisiones de la expresión.

Cuarto. Las últimas operaciones que se deben evaluar, a falta de las anteriores, son las sumas o restas que haya en la expresión.

Jerarquía de las operaciones – TIC en la escuela

Porcentajes

El porcentaje es un símbolo matemático, que representa una cantidad dada como una fracción en 100 partes iguales. También se le llama comúnmente tanto por ciento donde por ciento significa «de cada cien unidades». Se usa para definir relaciones entre dos cantidades, de forma que el tanto por ciento de una cantidad, donde tanto es un número, se refiere a la parte proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad.

Ejemplo

“La mitad de la población mundial son hombres” es lo mismo que decir que “50 de cada 100 personas son hombres”, o bien, que “el 50% de la población son hombres”.

Los porcentajes son relaciones de proporcionalidad directa. Siguiendo con el ejemplo anterior, esto quiere decir que, si la proporción de hombres aumenta, entonces el porcentaje también lo hace y, si decrece, el porcentaje también decrece. Por tanto, para trabajar con porcentajes tenemos que utilizar reglas de tres directas.

Para aplicar una regla de tres (directa), escribimos una tabla con dos columnas: una para las cantidades y otra para los porcentajes. El 100% debe identificarse con el total de la población:

Explicamos cómo calcular porcentajes aplicando una regla de tres y resolvemos problemas de porcentajes. Porcentajes de aumentos, de descuentos, de rebajas, porcentajes mayores que 100%, etc. Matemáticas. Cálculo. ESO. Secundaria.

Ejemplo:

En un pueblo de 5000 habitantes, 3750 de ellos son hombres. Calculamos el porcentaje de hombres de dicho pueblo:

Explicamos cómo calcular porcentajes aplicando una regla de tres y resolvemos problemas de porcentajes. Porcentajes de aumentos, de descuentos, de rebajas, porcentajes mayores que 100%, etc. Matemáticas. Cálculo. ESO. Secundaria.

El 75% de los habitantes del pueblo son hombres.

Lenguaje algebraico

El lenguaje que usamos en operaciones aritméticas en las que sólo intervienen números se llama lenguaje numérico. En ocasiones empleamos letras para representar cualquier número desconocido, realizamos operaciones aritméticas con ellas e, incluso, las incluimos en expresiones matemáticas para poder calcular su valor numérico.

El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, y, además, las trata como números en operaciones y propiedades, se llama lenguaje algebraico.

Características del lenguaje algebraico

  1. El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: podemos expresar enunciados de una forma más breve. El conjunto de los múltiplos de 5 es 5 • = {±5, ±10, ±15, …}. En lenguaje algebraico se expresa 5 • n, con n un número entero.
  2. El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numéricas de carácter general. La propiedad conmutativa del producto se expresa a • b = b • a, donde a y b son dos números cualesquiera.
  3. Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y realizamos operaciones aritméticas con ellos.

         El doble de un número es seis se expresa 2 • x = 6.Expresiones algebraica.

A modo de ejemplos, ofrecemos un listado de frases con un contenido matemático traducidas a una expresión algebraica:

FraseExpresión algebraica
La suma de 2 y un número2 + d  (la “d” representa la cantidad desconocida)
3 más que un número x + 3
La diferencia entre un número y 5 a – 5
4 menos que n4 – n
Un número aumentado en 1k + 1
Un número disminuido en 10z – 10
El producto de dos númerosa • b
Dos veces la suma de dos números2 ( a + b)
Dos veces un número sumado a otro2a + b
Cinco veces un número5x
Ene veces (desconocida) un número conocidon multiplicado por el número conocido
El cociente de dos números
b
La suma de dos númerosx + y
10 más que nn + 10
Un número aumentado en 3a + 3
Un número disminuido en 2a – 2
El producto de p y qp • q
Uno restado a un númeron – 1
El antecesor de un número cualquierax – 1
El sucesor de un número cualquierax + 1
3 veces la diferencia de dos números3(a – b)
10 más que 3 veces un número10 + 3b
La diferencia de dos númerosa – b
La suma de 24 y 1924 + 19 = 43
19 más que 3333 + 19 = 52
Dos veces la diferencia de 9 y 42(9 – 4) = 18 – 8 = 10
El producto de 6 y 166 • 16 = 96
3 veces la diferencia de 27 y 213(27 – 21) = 81 – 63 = 18
La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado92 – 42 = 81 – 16 = 65
El cociente de 3 al cubo y 933 / 9 = 27 / 9 = 3
12 al cuadrado dividido por el producto de 8 y 12122 ÷ (8 • 12) = 144 ÷ 96 = 1,5
Jesus Aragón Pimienta

Jesus Aragón Pimienta

Ingeniero civil, Maestro de matematicas