Resumen Probabilidad y Estadistica 2, Parcial 1

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Tecnicas de conteo

Si lanzas tres monedas (de diferente denominación) se tienen 8 resultados  diferentes ¿Cuántos habrá si se lanzan 4 monedas?

Primero comprobaremos en realidad son 8 resultados o combinaciones al tirar 3 monedas diferentes

Para ello pondremos la siguiente simbologia:

A = Aguila

S = Sello

AAA, AAS, ASS, SSS, SSA, SAA, SAS, ASA

Si nosotros contamos todas la combinaciones colocando diferentes combinaciones, si nos da como resultado 8.

Ahora lo haremos con 4 moneras, la misma simbologia.

AAAA, AAAS, AASS, ASSS, SSSS, SSSA, SSAA, SAAA, SASA, ASAS, SAAS, ASSA, ASAA, SASS, AASA, SASS

Si contamos todas las respuestas nos da 16 combinaciones

Podemos comprobarlo con un diagama de arbol como el siguiente, en el cual A=C y S=x

Contamos los resultados funales y tambien son 16.

Probabilidad y estadistica: Introduccion a la Probabilidad


Diagrama de arbol

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.

En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

Es importante recordar que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo debe ser  siempre 1.

Ejemplo: Escoger un comité al azar

Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar
la probabilidad de:

1 Seleccionar tres niños.

2 Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

3 Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

4 Seleccionar tres niñas.

Realizaremos el diagrama observando las posibilidades de selección:

  1.  Las opciones son niño con probabilidad de \displaystyle \frac{10}{16} o niña con probabilidad de \displaystyle \frac{6}{16}
  2. En el primer nudo en la selección de niño, las opciones son  niño con probabilidad de
    \displaystyle \frac{9}{15} o niña con probabilidad de \displaystyle \frac{6}{15} y en la selección de niña, las opciones
    son  niño con probabilidad de \displaystyle \frac{10}{15}  o niña con probabilidad de \displaystyle \frac{5}{15}
  3. El tercer segmento se obtiene de manera análoga al anterior
Diagrama de árbol
1 Seleccionar tres niños.
 
Son sucesos independientes
 
Probabilidad al seleccionar 3 niños

2 Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

Podemos observar en el diagrama de árbol, que hay 3 ramas que nos brindan
el resultado que buscamos, así que debemos sumar las 3 probabilidades.

Probabilidad al seleccionar 2 niños y una niña

3 Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

Probabilidad al seleccionar 2 niñas y un niño

4 Seleccionar tres niñas.

Probabilidad al seleccionar 3 niñas

Factoriales.

¿Qué es la función factorial?

La función factorial se representa con un signo de exclamación “!” detrás de un número. Esta exclamación quiere decir que hay que multiplicar todos los números enteros positivos que hay entre ese número y el 1.

Por ejemplo:

factoriales 1

A este número, 6! le llamamos generalmente “6 factorial”, aunque también es correcto decir “factorial de 6”.

En tu calculadora podrás ver una tecla con “n!” o “x!”. Esta tecla te servirá para calcular directamente el factorial del número que quieras.

Algunos ejemplos de factoriales

Vamos a ver algunos ejemplos más de factoriales:

factoriales 2

Como ves, 100! es enorme…

Y, ¿qué hacemos con los números más pequeños? 1 factorial es, lógicamente, 1, ya que multiplicamos 1 x 1:

factoriales 3

Pero, ¿cómo podemos calcular el 0 factorial? Bueno, esto no tiene sentido cuando aplicamos la norma de que hay que multiplicar todos los números enteros positivos entre el 0 y el 1, ya que 0 x 1 es 0.

Al final, por convenio se ha acordado que lo más útil es que el 0 factorial sea igual a 1. Así que recuerda:

factoriales 4

¿Para qué podemos utilizar los factoriales?

Los números factoriales se utilizan sobre todo en combinatoria, para calcular combinaciones y permutaciones. A través de la combinatoria, los factoriales también se suelen utilizar para calcular probabilidades.

Vamos a ver un ejemplo sencillo de problema en el que podemos aplicar los factoriales:

factoriales 5

En este problema nos están pidiendo lo que se llama una permutación, es decir, que averigüemos todas las maneras posibles en las que estas 4 cartas se pueden combinar teniendo en cuenta el orden en el que las colocamos.

Si comenzamos haciendo todas las filas posibles comenzando con el as de diamantes, podemos hacer 6 combinaciones:

factoriales 6

También tendremos 6 combinaciones posibles con el de tréboles, con el de corazones y con el de picas, es decir, 6 combinaciones empezando con cada una de las 4 cartas: 4 x 6 = 24

factoriales 7

Utilizando la función factorial, podríamos haber resuelto el problema de forma mucho más sencilla:

Pensamos en una sola combinación de los 4 ases:

– Cuando hemos elegido el primero, ya solo nos quedan 3 para elegir

– Cuando hemos elegido el segundo, ya solo nos quedan 2 para elegir

– Cuando hemos elegido el tercero, ya solo nos queda 1 para elegir

Por lo tanto, todas las combinaciones posibles serán 4 x 3 x 2 x 1.

O lo que es lo mismo, 4! = 24

Jesus Aragón Pimienta

Jesus Aragón Pimienta

Ingeniero civil, Maestro de matematicas