Teoria combinatoria

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Permutaciones

Se llaman permutaciones de \displaystyle m elementos a las distintas formas en que pueden ordernarse estos \displaystyle m elementos. Hay que tener en cuenta  lo siguiente:

  • Sí importa el orden, ya que el intercambio entre dos elementos distintos genera una nueva permutación.
  • No se repiten los elementos, ya que de repetirse o ser iguales entre si, al intercambiarlos no se genera una nueva permutación.

En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?Después de elegir por ejemplo la “14” no puedes elegirla otra vez.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:

16 × 15 × 14 × 13 … = 20.922.789.888.000

Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:

16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3.360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16..

La fórmula se escribe:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden importa

Ejemplos:

Nuestro “ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16” sería:

¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?

(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)

Notación

En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:

Combinaciones

Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m\geq n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:

  • No se consideran todos los elementos.
  • El orden no importa.
  • No se repiten los elementos.
C_{m}^{n}=\cfrac{V_{m}^{n}}{P_{n}}

También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:

C_{m}^{n}=\cfrac{m!}{n!\left ( m-n \right )!}

Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.

Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.

Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.

Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:

El orden importaEl orden no importa
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
1 2 3

Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.

De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras “1 2 3” se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:

3! = 3 × 2 × 1 = 6

(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)

Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden no importa)

Notación

Además de los “grandes paréntesis”, la gente también usa estas notaciones:

Ejemplo

Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:

O lo puedes hacer así:

Jesus Aragón Pimienta

Jesus Aragón Pimienta

Ingeniero civil, Maestro de matematicas