Permutaciones
Se llaman permutaciones de 
elementos a las distintas formas en que pueden ordernarse estos elementos. Hay que tener en cuenta lo siguiente:
- Sí importa el orden, ya que el intercambio entre dos elementos distintos genera una nueva permutación.
- No se repiten los elementos, ya que de repetirse o ser iguales entre si, al intercambiarlos no se genera una nueva permutación.
En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.
 | Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?Después de elegir por ejemplo la “14” no puedes elegirla otra vez. |
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 … = 20.922.789.888.000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:
16 × 15 × 14 = 3360
Es decir, hay 3.360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16..
La fórmula se escribe:
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden importa
Ejemplos:
Nuestro “ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16” sería:
¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?
(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)
Notación
En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:
Combinaciones
Se llama combinaciones de 
elementos tomados de 
en 
a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los elementos de forma que:
- No se consideran todos los elementos.
- El orden no importa.
- No se repiten los elementos.
También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:
Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:
| El orden importa | El orden no importa |
| 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 | 1 2 3 |
Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras “1 2 3” se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:
3! = 3 × 2 × 1 = 6
(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)
Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):
Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden no importa)
Notación
Además de los “grandes paréntesis”, la gente también usa estas notaciones:
Ejemplo
Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:
O lo puedes hacer así:
