Resumen parcial 2 (Actividades de aprendizaje VI-X)

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1. Teorema de Tales

Ejercicio

Encontrar la altura del edificio si su sombra mide 270 m y al mismo tiempo se mide la sombra de un árbol la cual midió 6 m y la altura del árbol mide 5 m.

Para resolver comparamos en la parte de arriba las bases, que serian las sombras, y abajo las alturas

Y realizamos una regla de 3

2. Teorema de Pitágoras

Ejemplos:

1. Halla la medida, en centímetros, del cateto desconocido de un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa mide 10 cm y el cateto conocido mide 8 cm.

2Un faro de 16 metros de altura manda su luz a una distancia horizontal sobre el mar de 63 metros. ¿Cuál es la longitud, en metros, del haz de luz?

3. Polígonos regulares e irregulares

Caracteristicas de todos los poligonos regulares:

  • Todos sus lados miden lo mismo.
  • Todos sus ángulos interiores miden lo mismo.
  • Todos sus ángulos exteriores miden lo mismo.
  • Tienen ángulos centrales y, además, todos miden lo mismo.
  • Sus ángulos centrales y sus ángulos exteriores, son exactamente iguales.
  • Sus diagonales generan formas geométricas simétricas
  • Existen polígonos regulares con cualquier número de lados, desde un mínimo de tres lados (triángulo equilátero) hasta infinitos lados. De hecho, cuando el número de lados de un polígono regular es infinito, tiende a convertirse en un círculo, pues sus lados, teóricamente, pasarían a convertirse en un solo punto en el espacio, que estarían a la misma distancia de su centro. Esa es la misma definición de circunferencia y círculo.

Poligonos regulares e irregulares según su numeros de lados

Polígono en el cual sus lados no son de igual longitud y/o sus vértices no están contenidos  en una circunferencia. De acuerdo al número de sus lados, se denominan:

  • Triángulo: polígono de 3 lados,
  • Cuadrilátero: polígono de 4 lados,
  • Pentágono: polígono de 5 lados,
  • Hexágono: polígono de 6 lados,
  • Heptágono: polígono de 7 lados,
  • Octágono: polígono de 8 lados, … y así sucesivamente.

TRIÁNGULOS IRREGULARES: Todos los triángulos, menos el equilátero, son irregulares. Es el único polígono en el que si tienen todos sus lados iguales, entonces, sus ángulos son iguales. Los triángulos isósceles, escalenos…, son siempre irregulares.

CUADRILÁTEROS IRREGULARES: El rectángulo, el rombo, el romboide, los trapecios y los trapezoides, son todos irregulares. Aunque algunos pueden tener sus 4 lados iguales (rombo), sus ángulos no lo son, y viceversa, si sus ángulos son iguales, no lo son sus lados (rectángulo).

4. Ángulos interiores y exteriores de un polígono.

En un polígono se contemplan dos tipos de ángulos: los interiores y los
exteriores. Los interiores son los formados por cada dos lados contiguos y los exteriores son sus suplementarios. 

Un cuadrilátero se puede dividir en 2 triángulos, un pentágono en 3, un hexágono en 4, etc.; siempre dos menos que el número de lados. En definitiva, un polígono de n lados se puede descomponer en n-2 triángulos y, por tanto, la suma de los ángulos interiores será: 180º·(n-2).

La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es 360º. Teniendo en cuenta que el ángulo interior y el exterior suman 180º, en un polígono de n lados los interiores y los exteriores sumaran, en total, n·180º, como los interiores suman 180º·(n-2) los exteriores suman 360º

¿Cuál es el angulo interior de un decágono (10 lados)?

Suma de los ángulos interiores = (n−2) × 180° = (10−2)×180° = 8×180° = 1440°
Y, si es regular, cada ángulo interior = 1440°/10 = 144°

¿Y cuál es su ángulo exterior?

Ángulo exterior: 180º – 144º36º

5. Razones trigonométricas

Las razones de los lados de un triángulo rectángulo se llaman razones trigonométricas. Tres razones trigonométricas comunes son : seno (sin), coseno (cos) y tangente (tan). Estas se definen para el ángulo agudo A como sigue:

EJEMPLO:

Calcular el valor de X de cada figura utilizando las razones trigonométricas vistas:

Conocemos la hipotenusa y el ángulo. Como queremos calcular el lado opuesto, utilizamos el seno:

Despejamos la incógnita:

El lado mide, aproximadamente, 16.900.

Kendor Emmanuel O´Shelly Parada

Kendor Emmanuel O´Shelly Parada

Ingeniero en Geociencias, Docente