Resumen parcial 2 Matematicas 3

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Cálculo de áreas en el plano cartesiano

Para hallar el área de cualquier polígono teniendo las coordenadas de todos sus vértices se aplica la siguiente fórmula:

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Esta fórmula se llama “Determinante de Gauss”

Ejemplo:

Dadas las siguientes coordenadas. Halla el área del polígono.

(3, -3)

(2, 1)

(4, 7)

(-6, 2)

(-1, -2)

(-3, -5)

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Tomamos las coordenadas en sentido anti horario, y sustituimos en la formula
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Restamos los resultados y después dividimos entre 2

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Pendiente y angulo de inclinacion.

Ejemplo 1: Encontrar el angulo de inclinacion de una función que pasa por los puntos (1,5) y (20,8)

En este ejemplo no se da directamente el valor de m, sino que se dan dos puntos por donde pasa la recta, entonces lo primero que se hará es encontrar la pendiente, para posteriormente obtener el ángulo de inclinación.

  • m = y2 – y1/x2 – x1
  • m = 8-5/20-10
  • m = 3/10

Ahora con el valor de la pendiente, se procede a encontrar el ángulo de inclinación

  • Θ = tan-1(m)
  • Θ = tan-1(3/10)
  • Θ = 16.6992

Ejemplo 2: Calcular el ángulo de una recta que pasa por los puntos (5,3) y (50,4)

  • m = y2 – y1/x2 – x1
  • m = 4-3/50-5
  • m = 1/45

Ahora con el valor de la pendiente, se procede a encontrar el ángulo de inclinación

  • Θ = tan-1(m)
  • Θ = tan-1(1/45)
  • Θ = 1.27

Forma pendiente ordenada en el origen

¿Qué es la forma pendiente-ordenada al origen?

La forma pendiente-ordenada al origen es una representación específica de las ecuaciones lineales. Tiene la siguiente estructura general

y = mx +b

Aquí, m, y b, pueden ser cualesquiera dos números reales. Por ejemplo, estas son ecuaciones lineales en forma pendiente-ordenada al origen:

y = 2x + 1

Además de limpia y sencilla, la forma pendiente-ordenada al origen tiene la ventaja de que exhibe las dos características principales de la recta que representa:

  • La pendiente es m
  • La coordenada y de la intersección con el eje ¨y¨ es b. En otras palabras, la recta se interseca con el eje y en (0,b)
  • Por ejemplo, la recta y=2x+1, tiene pendiente y se interseca con el eje y en (0, 1)

El hecho de que esta representación dé la pendiente y la ordenada al origen (es decir, la intersección de la recta con el eje y) ¡es la razón por la cual se llama forma pendiente-ordenada al origen.

La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente nos indica el eje de las coordenadas.

APLICACIONES DE LA PENDIENTE.

Es un parámetro relevante en el trazado altimétrico de carreteras, vías férreas, canales y otros elementos constructivos.

La forma pendiente ordenada nos permite proyectar alturas y diferentes elementos de construcciones, procesos industriales específicos.

Un ejemplo:

La pendiente máxima en una zona urbana de una via férrea es de 1.5% es decir 1.5 cms por cada metro que avanza el ferrocarril, si tu necesitaras elevar el ferrocarril 10 metros para que la altura llegue a la estación donde llegara, ¿Con que distancia mínima debería de contar las vias para subir esa altura?


El primer paso seria determinar la ecuación, es decir la forma pendiente ordenada que seria:

y= 1.5x

si lo graficamos ´´y´´ seria la altura en centimetros y ´´x´´ la distancia recorrida en metros, entonces tendríamos que sustituir x hasta que al valor nos diera 10metros, que convertido a centímetros seria 1000 centímetros

y = 1.5 (666.66) = 1000 cms o que es lo mismo 10 metros

Entonces la distancia mínima que tiene que recorrer un ferrocarril para poder elevarse 10 metros es de 666.66 metros mas de medio kilometro

Graficar forma pendiente ordenada en el origen

Como se vio en el artículo anterior, la pendiente nos ayuda a ¨Proyectar¨ los resultados que necesitamos, ya sea alturas, velocidades, u otras aplicaciones, y al graficar la pendiente nos ayuda a distinguir los diferentes resultados atreves de la distancia o tiempo, nos permite leer, analizar e interpretar a traves de diferentes resultados a la vez.

Para poder ejemplificar esto digamos que la velocidad de un auto es dada por la ecuación.

y = 50x

En esta ecuación la pendiente m = 50  es decir 50/1 y la ordenada en el origen es (0,0) porque no hay otro numero que sume en la ecuación.

En este caso y = distancia en km, y , x = tiempo en horas

Si sustituimos los valores de x, podremos saber la distancia que se recorre en 1 hora, o 2 horas, o el tiempo que quisiéramos.

Analizando la grafica podemos ver en que punto o en que distancia va después de tiempo que queremos.

En 1 hora el carro a recorrido 50km

En 3 horas el carro a recorrido 150 km, y así sucesivamente.

En física al dividir la distancia entre el tiempo se obtiene la velocidad

V = d/t

Si tomamos los valores a las 5 horas

V = 250 / 50 = 50 km/h

Al ver estos resultados podemos notar que la velocidad e igual a la pendiente que es 50, y esa es otra de las funciones de la pendiente.

V = m

Intersecciones de la recta

La abscisa al origen es el punto donde una recta cruza el eje x y la ordenada al origen es el punto donde una recta cruza el eje y.

Ejemplo: intersecciones a partir de una gráfica

Al ver la gráfica, podemos encontrar las intersecciones.

La recta cruza los ejes en dos puntos:

El punto en el eje x es (5,0), Llamamos a esto la abscisa al origen o la intersección con el eje x.

El punto en el eje y es (0,4) Llamamos a esto la ordenada al origen o la intersección con el eje y.

Ejemplo: intersección a partir de una ecuación

Nos piden que determinemos las intersecciones de la gráfica descrita por la siguiente ecuación lineal:

3x+2y=5

Para encontrar la intersección con el eje y, vamos a sustituir x=0 en la ecuación y resolver para y:

 3(0) + 2y ​=5

2y = 5

y = 5/2

Así que la ordenada al origen es (0,5/2)

Para encontrar la intersección con el eje x, vamos a sustituir y=0 en la ecuación y resolver para x:

3x+2(0) = 5

3x = 5

x = 5/3

Así que la ordenada al origen es (5/3,0)

Jesus Aragón Pimienta

Jesus Aragón Pimienta

Ingeniero civil, Maestro de matematicas