Resumen 2 parcial Probabilidad y estadistica II

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Teoria combinatoria

Permutaciones

Se llaman permutaciones de \displaystyle m elementos a las distintas formas en que pueden ordernarse estos \displaystyle m elementos. Hay que tener en cuenta  lo siguiente:

  • Sí importa el orden, ya que el intercambio entre dos elementos distintos genera una nueva permutación.
  • No se repiten los elementos, ya que de repetirse o ser iguales entre si, al intercambiarlos no se genera una nueva permutación.

En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:

16 × 15 × 14 × 13 … = 20.922.789.888.000

Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:

16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3.360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16..

La fórmula se escribe:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden importa

Ejemplos:

Nuestro “ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16” sería:

¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?

(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)

Notación

En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como:

Combinaciones

Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m\geq n) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:

  • No se consideran todos los elementos.
  • El orden no importa.
  • No se repiten los elementos.
C_{m}^{n}=\cfrac{V_{m}^{n}}{P_{n}}

También podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:

C_{m}^{n}=\cfrac{m!}{n!\left ( m-n \right )!}

Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.

Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.

Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.

Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:

El orden importaEl orden no importa
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
1 2 3

Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.

De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras “1 2 3” se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:

3! = 3 × 2 × 1 = 6

(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)

Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):

Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:

donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas
(No se puede repetir, el orden no importa)

Notación

Además de los “grandes paréntesis”, la gente también usa estas notaciones:

Ejemplo

Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:

O lo puedes hacer así:

Permutaciones

Cuando el problema de un conteo consiste en ordenar elementos de un conjunto donde importa el orden podemos utilizar las permutaciones. Estas consisten en calcular el número de ordenamientos posibles de algún objeto. Las permutaciones a diferencia de los factoriales, toma en cuenta el total de objetos que se tienen y puede ordenar solo 3, 4 o 5 de todos los objetos que se tienen en total según sea el caso, mientras que factorial solo tiene la característica de ordenar todos los objetos en un lugar específico.

Por ejemplo, si quisiéramos saber el número de formas en las que podemos ordenar a 5 personas en 3 puestos, Presidente, Tesorero y Secretario, esto no podríamos obtenerlo a través de la técnica factorial, ya que puede ser útil deberíamos de tener 5 personas y 5 puestos disponibles, por lo tanto para estos casos se utiliza el método de la permutación.

Para poder calcular las diferentes formas en las que podemos ordenar n objetos tomados en grupos de k a la vez donde, el total de objetos n debe ser mayor a los grupos en que serán tomados k, puede calcularse como:

Los factores este producto (multiplicación) comienzan en el número total de objetos que se tienen y descienden el número de veces que indica el grupo en que serán tomados:

EJEMPLO 1.

Empieza en el factor n, el cual es igual a 4 y disminuye hasta que hay 2 factores, siendo 2 el valor de k.

EJEMPLO 2

Determina el número de permutaciones (arreglos) en cada uno de los siguientes ejercicios.

  1. 7 objetos tomados en grupos de 4 a la vez.

Como el total de objetos son 7, este valor sería n. Estos serán tomados en grupos de 4 en 4, por lo tanto 4 correspondería al valor de k.

SOLUCIÓN:

Combinaciones

La combinación (Dentro de la teoría combinaría) es una técnica de conteo que se aplica en experimentos aleatorios, en los que no se tiene en cuenta el orden en que se eligen los elementos y no es posible la repetición.

Definición

Dado un experimento aleatorio con una población N y una muestra n, si en la muestra no existe orden ni repetición, el número de elementos del espacio muestral corresponde a la combinatoria de n en N, la cual se simboliza NCn  y se define como:

Formula

Formula de combinación.

Ejemplo

Hallar el número de formas en que se pueden mezclar cinco colores: amarillo (a), verde (v), rojo (r), blanco (b) y café (c), tomándolos de tres en tres.

Solución

En este experimento se deben mezclar 5 colores tomándolos de a 3. Por tal razón, la población es N=5 y la muestra n=3.

En este experimento el orden no se tienen en cuenta, ya que da el mismo resultado combinar el color amarillo, el verde y el rojo, que si se toma primero el verde, luego el rojo y por último el amarillo. Con esto, el número de elementos del espacio muestral es:

Pasos para su solución.

Por lo tanto, existen 10 formas para mezclar los cinco colores tomándolos de a 3. Estas combinaciones son:

Métodos para asignar probabilidades

La probabilidad se puede determinar de dos formas: experimentalmente y teóricamente. La diferencia entre ellas, es que la probabilidad experimental no conocemos los resultados posibles que pueden ocurrir, como su nombre lo expresa se tiene que probar el experimento al instante e ir anotando los resultados que se han obtenido al repetirlo una determinada cantidad de veces.

Imagen 1. Esquema de enfoques para asignar probabilidades.

Sin embargo la probabilidad teórica podemos obtenerla cuando podemos conocer los resultados posibles que pueden darse de un experimento dado, es decir, cuando conocemos su espacio muestral.

Ejemplo 1

Calcular la probabilidad de sacar una pelota azul de una urna que contiene 50 pelotas rojas, 100 pelotas blancas y 150 pelotas azules.

Solución

Como la fórmula de la probabilidad teórica nos indica, necesitamos dos datos para poder obtener la probabilidad de un evento. El número de casos favorables el cual se refiere a los casos que si cumplen con la condición propuesta en el evento. Para este ejercicio nos piden encontrar la probabilidad de obtener una pelota azul, por lo que nuestros casos favorables serán la cantidad de pelotas azules, las cuales son 150.

El número de resultados totales para este ejercicio correspondería al número total de pelotas con las que se cuenta, este dato lo podemos obtener si sumamos las 50 pelotas rojas más 100 blancas más 150 azules.

Por lo tanto para obtener la probabilidad de este evento tendríamos lo siguiente:

Fórmula de la probabilidad experimental.

La Probabilidad sería de 0.5 en sacar una pelota azul que corresponde al 50%

Ejemplo 2.

Cindy quiere procrear exactamente dos niños. Suponiendo que niño y niña son igualmente probables, la probabilidad de que nazcan niño o niña es 0.5.

Solución

En este caso necesitamos conocer el espacio muestral de este experimento el cual sería el siguiente:

  • h= niño
  • m= niña

Tomamos en cuenta que solo un evento del espacio muestral de los cuatro que existen en total por lo que la probabilidad de tener dos niños lo podríamos calcular de la siguiente manera:

Formula de la probabilidad experimental

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-71.png

La probabilidad seria de 0.25 en procrear 2 niños que corresponde a un 25%.

Ejemplo 3.

Se va a lanzar un dado al aire. ¿Cuál es la probabilidad de que al caer al suelo, el resultado sea un número par?

Solución

El dado tiene 6 caras (1-6) y los números pares con 3 (2, 4 y 6).

Formula de la probabilidad experimental

Esta imagen tiene un atributo ALT vacío; su nombre de archivo es image-71.png

La probabilidad seria de 0.5 en sacar un número par en el lanzamiento del dado que corresponde a un 50%.

Sucesos/ Tipos de sucesos

La Probabilidad es la mayor o menor posibilidad de que ocurra un determinado suceso. En otras palabras, su noción viene de la necesidad de medir o determinar cuantitativamente la certeza o duda de que un suceso dado ocurra o no.

Esta establece una relación entre el número de sucesos favorables y el número total de sucesos posibles. Por ejemplo, lanzar un dado, y que salga el número uno (caso favorable) está en relación con seis casos posibles (1, 2, 3, 4, 5 y 6); es decir, la probabilidad es 1/6.

1. SUCESO

Un suceso es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

  • Al lanzar una moneda salga cara.
  • Al lanzar un dado se obtenga 4.

Cada uno de los resultados obtenidos al realizar un experimento recibe el nombre de suceso elemental. Se llama espacio muestral el conjunto de todos los sucesos elementales obtenidos, de forma que todo subconjunto del espacio muestral es un suceso.

2. Tipos de sucesos y su aplicación

  • SUCESO ELEMENTAL

Es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5.

  • SUCESO COMPUESTO

Es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.

  • SUCESO SEGURO (E)

Está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).

Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7.

  • SUCESO IMPOSIBLE

Es el que no tiene ningún elemento.

Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.

  • SUCESOS COMPATIBLES

Dos sucesos, A y Bson compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.

  • SUCESOS INCOMPATIBLES

Dos sucesos, A y Bson incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.

  • SUCESOS INDEPENDIENTES

Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Al lazar dos dados los resultados son independientes.

  • SUCESOS DEPENDIENTES

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.

  1. SUCESO CONTRARIO

El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se denota por  .

Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==

3. Unión de sucesos

La unión de sucesos, A U B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.

Es decir, el suceso A U  B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos.

Ejemplo

Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = “sacar par” y B = “sacar múltiplo de 3”. Calcular A U B.
• A = {2, 4, 6}
• B = {3, 6}
• A U B = {2, 3, 4, 6}

Imagen 1. Unión de suceso A y B.

4. Intersección de sucesos

La intersección de sucesos, A Ո B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B.

Es decir, el suceso A Ո B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.

Ejemplo

Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = “sacar par” y B = “sacar múltiplo de 3”. Calcular A Ո  B.

  • A = {2, 4, 6}
  • B = {3, 6}
  • A  Ո B = {6}
Imagen 2. Intersección de suceso A y B.

5. Diferencia de suceso

La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.

Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B.

A − B se lee como “A menos B“.

Ejemplo

Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = “sacar par” y B = “sacar múltiplo de 3”. Calcular A − B.

  • A = {2, 4, 6}
  • B = {3, 6}
  • A − B = {2, 4}
Imagen 3. Diferencia de suceso en A y B.

6. Suceso contrario

Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique A.

Ejemplo

Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = “sacar par”. Calcular Ā.

A = {2, 4, 6}

Ā = {1, 3, 5}

Jesus Aragón Pimienta

Jesus Aragón Pimienta

Ingeniero civil, Maestro de matematicas