Resumen 2 parcial

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Operaciónes con fracciones

Suma y resta de fracciones de igual denominador

Cómo sumar fracciones: Son las más sencillas de trabajar. Identificamos si todas las fracciones tienen el mismo denominador, en este caso, mantendremosel mismo denominador y solamente tenemos que sumar o restar los numeradores, no es nada complicado, veamos un ejemplo.

resta de fracciones

Suma y resta de fracciones con diferente denominador

Las reglas cambian cuando tenemos fracciones dónde existe dos o más denominadores, en este particular caso es necesario el mínimo común multiplo de los denominadores. El primer paso es multiplicar los denominadores para obtener el MCM, este será el nuevo denominador del resultado, después tenemos que multiplicar de forma cruzada para obtener los numeradores y los sumamos o restamos, según corresponda.

Fraccionarios: Resta de fracciones heterogéneas
Resta de fracciones heterogéneas | Matemáticas

Multiplicación de fracciones

Para poder resolver una multiplicación de fracciones se requiere multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador, esta misma regla se aplica hasta con más de dos fracciones, el resultado final o la fracción que dé como resultado se simplifica.

En el caso de que utilices un número entero, no hay problema, a menos que el resultado lo quieras en una fracción, solo tendrías que multiplicar el número entero por el denominador y obtendrías el resultado, así de sencillo es hacerlo.

multiplicación de fracciones

División de fracciones

Es quizás, la operación que resulta un poco más compleja del resto, con fracciones puede que se te complique un poco, pero una vez que comiences a practicar, verás que no tiene nada de difícil este tipo de operaciones. Cabe mencionar que las reglas que he de mencionar, son válidas para operaciones con dos fracciones.

Lo primero es multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, este sería el nuevo numeradormultiplicamos el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda y sería el nuevo denominador, es decir, se hace una multiplicación cruzada, al final simplemente simplificamos.

En el caso de que sean tres fracciones, se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda y el numerador de la tercera, así obtenemos el nuevo denominador. El numerador lo obtenemos al multiplicar el denominador del primero por numerador del segundo y el denominador de la tercera.

division de fracciones

Operaciones con polinomios parte 1

Suma de polinomios 

Para sumar dos po l inom ios se suman los coe f ic ientes de  

los térm inos de l m ismo grado . 

P(x) = 2x 3 + 5x − 3 

Q(x) = 4x − 3x 2 + 2x3 

1.Ordenamos los po l inom ios, si no lo están . 

Q(x) = 2x 3 − 3x 2 + 4x 

P(x) + Q(x) = (2x 3 + 5x − 3) + (2x 3 − 3x 2 + 4x) 

2.Agrupamos los monom ios del m ismo grado

P(x) + Q(x) = 2x 3 + 2x 3 − 3 x 2 + 5x + 4x − 3 

3.Sumamos los monom ios seme jantes

P(x) + Q(x) = 4x 3− 3x2 + 9x − 3 

Resta de po l inomios 

La res ta de polinomios con si ste en suma r al minuendo el  

opuesto del sus traendo .

P(x) − Q(x) = (2x 3 + 5x − 3) − (2x 3 − 3x 2 + 4x) 

P(x) − Q(x) = 2x 3 + 5x − 3 − 2x 3 + 3x2 − 4x 

P(x) − Q(x) = 2x 3 − 2x 3 + 3x2 + 5x− 4x − 3 

P(x) − Q(x) = 3x 2 + x − 3 

Multiplicación de polinomios 

Mu lt ipl icac ión de un número por un pol inom io 

Es o tro po l inom io que tiene de grado el m ismo del polinomio  

y como coe f ic ientes el producto de los coe f ic ientes de l  

po l inom io por e l número

3 · ( 2x 3 − 3 x 2 + 4x − 2) = 6x 3 − 9x 2 + 12x − 6

Multiplicación con expresiones algebraicas

Multiplicación y ley de los signos

Para realizar esta operación es conveniente recordar las reglas de los signos, como puedes observar colocamos algunos ejemplos utilizando números con signos positivos y negativos.

(2) (3) = 6, (-2) (-3) = 6, (-2) (3) = -6 y (2) (-3) = -6

Por otro lado, cuando multiplicamos dos expresiones los coeficientes y exponentes resultan afectados cuando las variables son las mismas, en este caso como las variables son diferentes los exponentes no se afectan.

2x (-3y2) = – 6xy2

Veamos un ejemplo en donde los coeficientes y exponentes son afectados.

Multiplicación de un monomio por un polinomio

3x2 (2x3 − 3x+ 4x − 2)

Primero multiplicamos los términos 3x2 y 2x3.

Por lo tanto, los coeficientes se multiplican y los exponentes se suman.

3x2 (2x3) = 3(2) x (2+3) = 6x5

Después multiplicamos 3x2 por el -3x2 que es el segundo término del polinomio.

3x2 (-3x2) = 3(-3) x (2+2) = -9x4

Luego multiplicamos 3x2 por 4x y obtenemos como resultado

3x2 (4x) = 3(4) x (2+1) = 12x3

Por último multiplicamos 3x2 por 2

3(2) x 2 = 6x2

Al final juntamos todos los términos en orden de grado mayor a menor para obtener el resultado final

6x5− 9x4 + 12x3 − 6x2

Productos notables

Al realizar operaciones con polinomios que siguen una regla fija, podemos generalizar el método de resolución, a este proceso se le denomina productos notables.

Ejemplos 1 con solución paso a paso de la forma (x+a)2

1) Desarrollaremos (x +10)2, cuidado con el signo positivo.

  • Elevamos al cuadrado el primer término x2.
  • Después multiplicamos el doble del primero por el segundo 2(x)(10) =20x.
  • Por último elevamos al cuadrado el segundo término 102=100.

Por lo tanto, la respuesta es:

Ejemplos 2 con solución paso a paso de la forma (xa)2

2) Desarrollaremos (x 10)2, cuidado con el signo negativo.

  • Elevamos al cuadrado el primer término x2.
  • Después multiplicamos el doble del primero por el segundo 2(x)(10) = 20x.
  • Por último elevamos al cuadrado el segundo término 102=100

Por lo tanto, la respuesta es:

Ejemplos 3 con solución paso a paso de la forma (x+a)(x+b)

Ahora mostraremos el desarrollo paso a paso.

3) Desarrollaremos (x 3)(x + 4), cuidado con el signo negativo y positivo.

Aplicamos la regla de binomios con término común:

x2+(-3+4)x+(-3)(4)

Primero elevamos al cuadrado la x y la ubicamos el primer término (x)2, después sustituimos los valores de -3 y 4 dentro de la regla del binomio, dicha sustitución es sumando o restando en el segundo término del binomio (-3+4)x y para finalizar multiplicamos (-3)(4) y lo ubicamos en el tercer termino. Como resultado final tenemos lo siguiente:

(x – 3)(x + 4) = x2 + (-3+4)x + (-3)(4)

Desarrollamos y obtenemos x2 + x – 12.

Ejemplo 4 binomios conjugados de la forma (x+a)(x-a)

4) Desarrollaremos (x + 2)(x – 2)

Primer paso elevamos la x al cuadrado y obtenemos x2 posteriormente lo ubicamos en el primer térmico del binomio final, después multiplicamos (2)(-2) y obtenemos -4, el cual lo ubicamos en el segundo término del binomio final.

Nuestro resultado final es x2 – 4.

Factorización

Diferencia de cuadrados

Factorizar es expresar una suma o diferencia de términos como el producto indicado de sus factores, dichos factores son la forma más simple, por ejemplo para factorizar la expresión:

1- Se extrae la raíz cuadrada del primer y segundo término.

2- Finalmente la factorización es:

Trinomio con término común

Esta expresión resulta producto de binomios con término común, para factorizar dicho término de la forma:

1- Se extrae la raíz cuadrada del término cuadrático y se coloca el resultado en ambos factores y se coloca el signo del segundo término en el primer factor, después se multiplica el signo del término por el signo del tercer término (+)(+) = +para obtener el signo del segundo factor.

2- Se buscan dos cantidades cuyo producto sea igual al tercer término 24 y cuya suma sea igual a 11; estos números son 8 y 3, que se colocan en cada factor, finalmente la factorización es:

Trinomio cuadrado perfecto

Para finalizar tenemos el trinomio cuadrado perfecto, se conoce así a todo la expresión de la forma:

Como ejemplo proponemos la siguiente expresión:

1- Para factorizar está expresión, se debe verificar que los términos se encuentren ordenados respecto a los exponentes de mayor a menor.

2- Se extraen las raíces cuadradas de los términos extremos (primer y último término).

3- Para comprobar que la expresión es un trinomio cuadrado perfecto, se realiza el doble producto de las raíces.

4 – Si el resultado del producto es igual al segundo término del trinomio, entonces este es el cuadrado perfecto y su factorización es igual al cuadrado de una suma o diferencia de las raíces cuadradas.

Jesus Aragón Pimienta

Jesus Aragón Pimienta

Ingeniero civil, Maestro de matematicas