Resumen Parcial 2 Matematicas 4

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Función Creciente y Decreciente

Función creciente

A medida que aumenta el valor de x, aumenta el valor de y. La definición es la siguiente: una función es creciente en un intervalo si se cumple que:

Veamos un ejemplo gráfico:

Función decreciente

A medida que aumenta el valor de x, disminuye el valor de y. La definición es la siguiente: una función es decreciente en un intervalo si se cumple que:

Veamos un ejemplo gráfico:

Funciones inyectivas, biyectivas y sobreyectivas


La inyectividad, sobreyectividad y biyectividad dan información acerca de como se relacionan los elementos del conjunto inicial X con el conjunto final Y.

Cabe recordar que una función f es una relación que asigna a los elementos de un primer conjunto (conjunto inicial X) un elemento de un segundo conjunto (conjunto final Y).

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Función inyectiva

La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen Y. Reciben también el nombre de funciones “uno a uno”.

No siempre todos los elementos del conjunto final Y deben corresponderse con alguno del conjunto inicial X.

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En términos matemáticos, una función f será inyectiva si dados dos puntos xa y xb:

Dicho de otra manera: una función es inyectiva si se cumple que a valores de su dominio x0 ≠ x1 ⇒ f(x0) ≠ f(x1).

Una comprobación gráfica de la inyectividad de una función es cuando cualquier recta paralela al eje X corta a la misma, como máximo, en un punto.

Ejemplo de función inyectiva



La función f(x) = 2x+1 , con los elementos de su dominio restringidos a los números reales positivos, es inyectiva.

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Veamos que se cumple la condición de inyectividad:

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En efecto, si xa y xb tienen la misma imagen, necesariamente deben ser el mismo elemento. Por lo tanto, f es inyectiva.

Veamos la gráfica de otra función:

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Esta función no cumple la condición de inyectividad, por lo que no es inyectiva.

Un ejemplo muy palpable de función inyectiva: asignemos a P al conjunto de presidentes de los Estados Unidos de América elegidos en el siglo XXI y a I el conjunto de las fechas de investidura presidenciales en USA también del siglo XXI. Sea f la función que relaciona cada uno de estos presidentes con la fecha de su primera toma de posesión. La función f es, por tanto, inyectiva pues a cada presidente le corresponde una única fecha de su primera toma de posesión. Aunque, por ejemplo, Barack Obama, aparte de la fecha de su primera investidura de 20-1-2009, fuese reelegido por segunda vez el 6-11-2012.

Otro ejemplo de función inyectiva es la del volumen de la esfera, donde r es su radio. Donde volumen y radio, codominio y dominio, son números reales positivos.

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Función sobreyectiva

Una función f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.

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Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto final Y. Dicho de otra manera, una función es sobreyectiva cuando son iguales su codominio y su dominio.

En términos matemáticos, una función f es sobreyectiva si:

Ejemplo de función sobreyectiva

La función en los números reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva.

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Esta función sí que es sobreyectiva. Vamos a verlo demostrando que el recorrido de la función son todos los números reales.

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El recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y, por lo que la f es sobreyectiva.

Es decir, que, con la función f(x), todo número real será imagen de, como mínimo, otro número real.

Igualmente, con los mismos argumentos, será sobreyectiva la función:

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Función biyectiva

Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva).

Digamos que no puede quedarse ningún elemento en el conjunto final Y solo, sin asociarse con un único elemento del conjunto inicial X.

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Teóricamente, una función f es biyectiva si:

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Ejemplo de función biyectiva

La función f(x) = 2x definida en los números reales es biyectiva.

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Para comprobarlo, veamos que f es inyectiva y sobreyectiva. Empezaremos por la condición de inyectividad:

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Se cumple la condición de inyectividad, por lo que ahora nos quedaría demostrar la sobreyectividad. Para ello, tenemos que demostrar que el recorrido de la función son todos los números reales.

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La función también es sobreyectiva, por lo que f es biyectiva.

Función Inversa

Partiendo de que una función es una relacion entre magnitudes, ahora hablaremos de las funciones inversas que nos permiten conocer el rango de valores de una función en particular y su aplicacion en la vida cotidiana.

Las podemos utilizar de la siguiente manera:

Ecuaciones de costo y productos, nos permite saber ciertos costos para una cierta cantidad de productos, en vez de conocer el costo partiendo de los productos.

Nos permiten conocer, en ecuaciones de población y tiempo, cuales son los rangos de poblaciones en un cierto tiempo, es decir, partir de la población en vez del tiempo.

Tambien crear analogías de pensamiento para buscar alternativas a una circunstancia, es decir, observar un problema desde una perspectiva distinta.

Las funciones inversas se usan en la vida real para el cálculo de movimientos de un sistema particulas variables, se utiliza en Cálculo de potencias y circuitos, para medir distancias no euclídeas, que son las que aplicamos en los aviones; “LA TIERRA NO ES PLANA”. 


Se utilizan en el cálculo diferencial, integral y vectorial, asignaturas que se llevan en Ingenierías, cálculo de ángulos de vectores de fuerza o en resistencias de metales.

 
Euler introdujo y popularizó varias convenciones referentes a la notación en los escritos matemáticos en sus numerosos y muy utilizados libros de texto. Posiblemente lo más notable fue la introducción del concepto de función matemática, siendo el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x. Esta nueva forma de notación ofrecía más comodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados por Newton y Leibniz, pero desarrollados basándose en las matemáticas del último.


Si nos ponemos una tanto más científicos las podríamos definir como una función dada f(x), que asocia a cada elemento x, del dominio, su imagen f(x) del recorrido, su función inversa o recíproca f-1(x), de existir, es aquella que, aplicada sobre los elementos del recorrido de f(x), les asocia su antiimagen en el dominio de la misma.

Mejor que de nuestro juicio, debemos fiarnos del cálculo algebraico.

Leonard Euler

Función escalonada

Las funciones escalonadas son un tipo particularmente sencillo de funciones  que se definen en un intervalo de manera que exista una partición del mismo en el que la función se mantenga constante en cada uno de los subintervalos. Su denotación es la siguiente:

F(x) = [x]

Nos enfocaremos en la parte entera.

Función parte entera: Es aquella que cada número real hace corresponder el mayor número entero que es menor o igual que el. El hacer corresponder a  cada  número un entero inmediatamente inferior, origina una gráfica escalonada.

Dominio y recorrido

El dominio de la función de la parte entera, es el conjunto de los números reales ( R ) y el recorrido es el conjunto de los números enteros ( Z ).

FUNCION ESCALONADA

«Con números se puede demostrar cualquier cosa».

Thomas Carlyle 1795-1881

Jesus Aragón Pimienta

Jesus Aragón Pimienta

Ingeniero civil, Maestro de matematicas